Ytukyg

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

Δφ=λ⋅φ{displaystyle Delta varphi =lambda cdot varphi }

in einem Gebiet Ω{displaystyle Omega } mit geeigneten Randbedingungen auf dem Rand ∂Ω{displaystyle partial Omega }. Dabei ist

Δ=∑k=1n∂2∂xk2.{displaystyle Delta =sum _{k=1}^{n}{partial ^{2} over partial x_{k}^{2}}.}

der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten.

Die Helmholtz-Gleichung ist dementsprechend eine partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit.

Setzt man λ=0{displaystyle lambda =0}, so erhält man die Laplace-Gleichung.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen |

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

∇→⋅A→+1c2∂Φ∂t=0{displaystyle {vec {nabla }}cdot {vec {A}}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial Phi }{partial t}}=0}

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential Φ{displaystyle Phi } sowie für das magnetische Vektorpotential A→{displaystyle {vec {A}}}:

ΔΦ(r→,t)−1c2∂2Φ(r→,t)∂t2=−4πϱ(r→,t){displaystyle Delta Phi ({vec {r}},t)-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}Phi ({vec {r}},t)}{partial t^{2}}}=-4pi varrho ({vec {r}},t)}

ΔAi(r→,t)−1c2∂2Ai(r→,t)∂t2=−4πcji(r→,t){displaystyle Delta A_{i}({vec {r}},t)-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A_{i}({vec {r}},t)}{partial t^{2}}}=-{frac {4pi }{c}}j_{i}({vec {r}},t)}

(hier für die einzelnen Komponenten mit: A→=∑i=13Aie^i{displaystyle {vec {A}}=sum _{i=1}^{3}A_{i}{hat {e}}_{i}})

Exemplarisch wird nun die Lösung für Φ{displaystyle Phi } durchgeführt, die Herleitung für A→{displaystyle {vec {A}}} geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Φ=Φhom.+Φpart.{displaystyle Phi =Phi _{mathrm {hom.} }+Phi _{mathrm {part.} }}

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen betrachten wir die Fourier-Transformation von Φ{displaystyle Phi } und ϱ{displaystyle varrho } bezüglich t{displaystyle t}:

Φ(r→,t)=12π∫dωΦω(r→)e−iωt{displaystyle Phi ({vec {r}},t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int domega ,Phi _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}}

ϱ(r→,t)=12π∫dωϱω(r→)e−iωt{displaystyle varrho ({vec {r}},t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int domega ,varrho _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}}

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

Δ∫dωΦω(r→)e−iωt−1c2∂2∂t2∫dωΦω(r→)e−iωt=−4π∫dωϱω(r→)e−iωt{displaystyle Delta int domega ,Phi _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}int domega ,Phi _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}=-4pi int domega ,varrho _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}}

⇒∫dω(Δ−1c2∂2∂2t)Φω(r→)e−iωt=−4π∫dωϱω(r→)e−iωt{displaystyle Rightarrow int domega ,left(Delta -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial ^{2}t}}right)Phi _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}=-4pi int domega ,varrho _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}}

⇒∫dω(Δ+ω2c2)Φω(r→)e−iωt=−4π∫dωϱω(r→)e−iωt{displaystyle Rightarrow int domega ,left(Delta +{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)Phi _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}=-4pi int domega ,varrho _{omega }({vec {r}})e^{-iomega t}}

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

(Δ+ω2c2)Φω(r→)=−4πϱω(r→){displaystyle left(Delta +{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)Phi _{omega }({vec {r}})=-4pi varrho _{omega }({vec {r}})}

Für die homogene Wellengleichung (ϱ(r→,t)=0){displaystyle left(varrho ({vec {r}},t)=0right)} erkennen wir mit (Δ+ω2c2)Φω(r→)=0{displaystyle left(Delta +{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)Phi _{omega }({vec {r}})=0} die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung (ϱ(r→,t)≠0){displaystyle left(varrho ({vec {r}},t)neq 0right)} kann eine Greensche Funktion G(r→,r→′){displaystyle G({vec {r}},{vec {r}}')} verwendet werden, welche die Gleichung

(Δ+ω2c2)G(r→,r→′)=−4πδ(r→−r→′){displaystyle left(Delta +{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)G({vec {r}},{vec {r}}')=-4pi delta ({vec {r}}-{vec {r}}')}

erfüllt.

Diese lautet:

G(r→,r→′)=exp⁡(±iω|r→−r→′|/c)|r→−r→′|{displaystyle G({vec {r}},{vec {r}}')={frac {exp(pm iomega |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c)}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

Φω(r→)=∫d3r′ϱω(r→′)G(r→,r→′)=∫d3r′ϱω(r→′)exp⁡(±iω|r→−r→′|/c)|r→−r→′|{displaystyle Phi _{omega }({vec {r}})=int d^{3}r',varrho _{omega }({vec {r}}')G({vec {r}},{vec {r}}')=int d^{3}r',varrho _{omega }({vec {r}}'){frac {exp(pm iomega |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c)}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von Φ(r→,t){displaystyle Phi ({vec {r}},t)} ein und erhalten

Φ(r→,t)=12π∫dω∫d3r′ϱω(r→′)exp⁡(±iω|r→−r→′|/c)|r→−r→′|e−iωt=12π∫dω∫d3r′ϱω(r→′)|r→−r→′|exp⁡(−iω(∓|r→−r→′|/c+t)){displaystyle {begin{aligned}Phi ({vec {r}},t)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int domega ,int d^{3}r',varrho _{omega }({vec {r}}'){frac {exp(pm iomega |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c)}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}e^{-iomega t}\&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int domega ,int d^{3}r',{frac {varrho _{omega }({vec {r}}')}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}exp left(-iomega (mp |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c+t)right)end{aligned}}}

Mit t′:=t∓|r→−r→′|/c{displaystyle t':=tmp |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c} folgt:

Φ(r→,t)=12π∫dω∫d3r′ϱω(r→′)|r→−r→′|exp⁡(−iωt′)=12π∫d3r′1|r→−r→′|∫dωϱω(r→′)e−iωt′{displaystyle Phi ({vec {r}},t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int domega ,int d^{3}r',{frac {varrho _{omega }({vec {r}}')}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}exp(-iomega t')={frac {1}{sqrt {2pi }}}int d^{3}r',{frac {1}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}int domega ,varrho _{omega }({vec {r}}')e^{-iomega t'}}

⇒Φ(r→,t)=∫d3r′ϱ(r→′,t′)|r→−r→′|{displaystyle Rightarrow Phi ({vec {r}},t)=int d^{3}r',{frac {varrho ({vec {r}}',t')}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für Ai{displaystyle A_{i}} folgt analog:

Ai(r→,t)=1c∫d3r′ji(r→′,t′)|r→−r→′|{displaystyle A_{i}({vec {r}},t)={frac {1}{c}}int d^{3}r',{frac {j_{i}({vec {r}}',t')}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

⇒A→(r→,t)=1c∫d3r′j→(r→′,t′)|r→−r→′|{displaystyle Rightarrow {vec {A}}({vec {r}},t)={frac {1}{c}}int d^{3}r',{frac {{vec {j}}({vec {r}}',t')}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit t{displaystyle t} am Ort r→{displaystyle {vec {r}}} beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit t′{displaystyle t'} am Ort r→′{displaystyle {vec {r}}'} verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung |

Noch steht das Vorzeichen im Argument t±|r→−r→′|/c{displaystyle tpm |{vec {r}}-{vec {r}}'|/c} nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei r→′{displaystyle {vec {r}}'} erst zu einem späteren Zeitpunkt bei r→{displaystyle {vec {r}}} beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit c{displaystyle c} ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

Φ(r→,t)ret.=∫d3r′ϱ(r→′,t−|r→−r→′|/c)|r→−r→′|{displaystyle Phi ({vec {r}},t)_{mathrm {ret.} }=int d^{3}r',{frac {varrho ({vec {r}}',t-|{vec {r}}-{vec {r}}'|/c)}{|{vec {r}}-{vec {r}}'|}}}

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auch |

• Bessel-Strahl

Weblinks |

• 
  Helmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld (engl.)