If $a$ and $b$ are constants, calculate the definite integral












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$$int_{-infty}^{+infty} F(x-b) f(x-a) dx$$



$$f(x) = exp(-x-e^{-x}), qquad x in (-infty, +infty)$$



$$F(x) = int_{-infty}^x f(t) dt$$



I calculated already the integral of $F(x)$, which is $exp(-e^{-x})$, but I am stuck on the other one, I have no idea how to calculate the integral of $F(x-a)f(x-b)$.






integration







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    – Shaun
    Dec 28 '18 at 8:26
















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$$int_{-infty}^{+infty} F(x-b) f(x-a) dx$$



$$f(x) = exp(-x-e^{-x}), qquad x in (-infty, +infty)$$



$$F(x) = int_{-infty}^x f(t) dt$$



I calculated already the integral of $F(x)$, which is $exp(-e^{-x})$, but I am stuck on the other one, I have no idea how to calculate the integral of $F(x-a)f(x-b)$.






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$$int_{-infty}^{+infty} F(x-b) f(x-a) dx$$



$$f(x) = exp(-x-e^{-x}), qquad x in (-infty, +infty)$$



$$F(x) = int_{-infty}^x f(t) dt$$



I calculated already the integral of $F(x)$, which is $exp(-e^{-x})$, but I am stuck on the other one, I have no idea how to calculate the integral of $F(x-a)f(x-b)$.






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$$int_{-infty}^{+infty} F(x-b) f(x-a) dx$$



$$f(x) = exp(-x-e^{-x}), qquad x in (-infty, +infty)$$



$$F(x) = int_{-infty}^x f(t) dt$$



I calculated already the integral of $F(x)$, which is $exp(-e^{-x})$, but I am stuck on the other one, I have no idea how to calculate the integral of $F(x-a)f(x-b)$.






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edited Dec 28 '18 at 8:39









Rócherz

2,9863821




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asked Dec 28 '18 at 8:22









user10471408user10471408

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$$int_{-infty}^{infty}F(a-b)f(x-a)dx=int_{-infty}^{infty}e^{-e^{-(x-b)}} e^{-(x-a)} e^{-e^{-(x-a)}} dx=$$



$Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{infty} e^{-e^{-x}({e^{b}+e^{a}})} e^{-x} dx$



Now Let, $-e^{-x}=t, rightarrow e^{-x} dx =dt$



$Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{0} e^{t{(e^{a}+e^{b}})} dt~~$



$Rightarrow frac{e^a}{e^{a}+e^{b}}.$






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    StackExchange.ifUsing("editor", function () {
    return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
    StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
    StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
    });
    });
    }, "mathjax-editing");

    StackExchange.ready(function() {
    var channelOptions = {
    tags: "".split(" "),
    id: "69"
    };
    initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

    StackExchange.using("externalEditor", function() {
    // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
    if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
    StackExchange.using("snippets", function() {
    createEditor();
    });
    }
    else {
    createEditor();
    }
    });

    function createEditor() {
    StackExchange.prepareEditor({
    heartbeatType: 'answer',
    autoActivateHeartbeat: false,
    convertImagesToLinks: true,
    noModals: true,
    showLowRepImageUploadWarning: true,
    reputationToPostImages: 10,
    bindNavPrevention: true,
    postfix: "",
    imageUploader: {
    brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
    contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
    allowUrls: true
    },
    noCode: true, onDemand: true,
    discardSelector: ".discard-answer"
    ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
    });


    }
    });














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    StackExchange.ready(
    function () {
    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3054679%2fif-a-and-b-are-constants-calculate-the-definite-integral%23new-answer', 'question_page');
    }
    );

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    $$int_{-infty}^{infty}F(a-b)f(x-a)dx=int_{-infty}^{infty}e^{-e^{-(x-b)}} e^{-(x-a)} e^{-e^{-(x-a)}} dx=$$



    $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{infty} e^{-e^{-x}({e^{b}+e^{a}})} e^{-x} dx$



    Now Let, $-e^{-x}=t, rightarrow e^{-x} dx =dt$



    $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{0} e^{t{(e^{a}+e^{b}})} dt~~$



    $Rightarrow frac{e^a}{e^{a}+e^{b}}.$






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      $$int_{-infty}^{infty}F(a-b)f(x-a)dx=int_{-infty}^{infty}e^{-e^{-(x-b)}} e^{-(x-a)} e^{-e^{-(x-a)}} dx=$$



      $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{infty} e^{-e^{-x}({e^{b}+e^{a}})} e^{-x} dx$



      Now Let, $-e^{-x}=t, rightarrow e^{-x} dx =dt$



      $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{0} e^{t{(e^{a}+e^{b}})} dt~~$



      $Rightarrow frac{e^a}{e^{a}+e^{b}}.$






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        $$int_{-infty}^{infty}F(a-b)f(x-a)dx=int_{-infty}^{infty}e^{-e^{-(x-b)}} e^{-(x-a)} e^{-e^{-(x-a)}} dx=$$



        $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{infty} e^{-e^{-x}({e^{b}+e^{a}})} e^{-x} dx$



        Now Let, $-e^{-x}=t, rightarrow e^{-x} dx =dt$



        $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{0} e^{t{(e^{a}+e^{b}})} dt~~$



        $Rightarrow frac{e^a}{e^{a}+e^{b}}.$






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        $$int_{-infty}^{infty}F(a-b)f(x-a)dx=int_{-infty}^{infty}e^{-e^{-(x-b)}} e^{-(x-a)} e^{-e^{-(x-a)}} dx=$$



        $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{infty} e^{-e^{-x}({e^{b}+e^{a}})} e^{-x} dx$



        Now Let, $-e^{-x}=t, rightarrow e^{-x} dx =dt$



        $Rightarrow e^{a} int_{-infty}^{0} e^{t{(e^{a}+e^{b}})} dt~~$



        $Rightarrow frac{e^a}{e^{a}+e^{b}}.$







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        edited Dec 28 '18 at 19:02

























        answered Dec 28 '18 at 10:05









        Sachin KumarSachin Kumar

        20519




        20519






























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            Use MathJax to format equations. MathJax reference.


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            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3054679%2fif-a-and-b-are-constants-calculate-the-definite-integral%23new-answer', 'question_page');
            }
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