Ytukyg

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen Δ{displaystyle Delta }, den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition |

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld f{displaystyle f} die Divergenz seines Gradienten zu,

Δf=div⁡(gradf),{displaystyle Delta f=operatorname {div} left(operatorname {grad} ,fright),}

oder mit dem Nabla-Symbol notiert

Δf=∇⋅(∇f)=(∇⋅∇)f=∇2f.{displaystyle Delta f=nabla cdot (nabla f)=(nabla cdot nabla )f=nabla ^{2}f.}

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise ∇2{displaystyle nabla ^{2}} zu finden.

Da der Divergenz-Operator div{displaystyle operatorname {div} } und der Gradient-Operator grad{displaystyle operatorname {grad} } unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im n{displaystyle n}-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

Δf=∑k=1n∂2f∂xk2.{displaystyle Delta f=sum _{k=1}^{n}{partial ^{2}f over partial x_{k}^{2}}.}

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

Δf=f″{displaystyle Delta f=f''}

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

Δf=Spur(H(f)){displaystyle Delta f=mathrm {Spur} (H(f))}

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „⊗{displaystyle otimes }“ wird mit dem Nabla-Operator ∇{displaystyle nabla }

Δv→:=(∇⋅∇)v→=∇⋅(∇⊗v→)=div(grad⁡(v→)⊤){displaystyle Delta {vec {v}}:=(nabla cdot nabla ){vec {v}}=nabla cdot (nabla otimes {vec {v}})=operatorname {div(grad} ({vec {v}})^{top })}

definiert. Das Superskript ⊤{displaystyle {}^{top }} steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß div~⁡T=div⁡(T⊤){displaystyle operatorname {tilde {div}} T=operatorname {div} (T^{top })} transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

Δv→=div~(gradv→){displaystyle Delta {vec {v}}=operatorname {{tilde {div}}(grad} ,{vec {v}})}

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator rot

Δv→=(∇⋅∇)v→=∇(∇⋅v→)−∇×(∇×v→)=grad(div⁡(v→))−rot(rot⁡(v→)),{displaystyle Delta {vec {v}}=(nabla cdot nabla ){vec {v}}=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla times (nabla times {vec {v}})=operatorname {grad(div} ({vec {v}}))-operatorname {rot(rot} ({vec {v}})),}

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.^[1]

Darstellung |

In zwei Dimensionen |

Für eine Funktion f{displaystyle f} in kartesischen Koordinaten (x,y){displaystyle (x,y)} ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2.{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}.}

In Polarkoordinaten (r,φ){displaystyle (r,varphi )} ergibt sich

Δf=∂2f∂r2+1r∂f∂r+1r2∂2f∂φ2{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial r^{2}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial f}{partial r}}+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}}

oder

Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂φ2.{displaystyle Delta f={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r,{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}.}

In drei Dimensionen |

Für eine Funktion f{displaystyle f} mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten (x,y,z){displaystyle (x,y,z)}

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2.{displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}.}

In Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)} ergibt sich

Δf=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂φ2+∂2f∂z2{displaystyle Delta f={frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}left(rho ,{frac {partial f}{partial rho }}right)+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}}

und in Kugelkoordinaten (r,θ,φ){displaystyle (r,theta ,varphi )}

Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂φ2.{displaystyle Delta f={frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}left(r^{2},{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta ,{frac {partial f}{partial theta }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}.}

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

1r2∂∂r(r2∂f∂r)=∂2f∂r2+2r∂f∂r=1r∂2∂r2(rf(r)){displaystyle {frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}left(r^{2},{frac {partial f}{partial r}}right)={frac {partial ^{2}f}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial f}{partial r}}={frac {1}{r}}{frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}{Big (}rf(r){Big )}}

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten |

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

Δf=divgradf=1a1a2a3∂∂u1(a2a3∂fa1∂u1)+1a1a2a3∂∂u2(a1a3∂fa2∂u2)+1a1a2a3∂∂u3(a1a2∂fa3∂u3){displaystyle Delta f={rm {div,,grad,,}}f={frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}},,{frac {partial }{partial u_{1}}}left({frac {a_{2}a_{3},partial f}{a_{1},partial u_{1}}}right)+{frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}},,{frac {partial }{partial u_{2}}}left({frac {a_{1}a_{3},partial f}{a_{2},partial u_{2}}}right)+{frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}},,{frac {partial }{partial u_{3}}}left({frac {a_{1}a_{2},partial f}{a_{3},partial u_{3}}}right)}

mit den durch

dr→=∑i=13aie→i(u1,u2,u3)dui{displaystyle mathrm {d} {vec {r}}=sum _{i=1}^{3},a_{i},{vec {e}}_{i}(u_{1},u_{2},u_{3}),mathrm {d} u_{i}}

gradf=∑i=13∂fai∂uie→i{displaystyle {rm {grad,,}}f=sum _{i=1}^{3},{frac {partial f}{a_{i},partial u_{i}}},{vec {e}}_{i}}

e→i⋅e→k=δi,k={1für i=k0für i≠k{displaystyle {vec {e}}_{i}cdot {vec {e}}_{k}=delta _{i,k}={begin{cases}1&{text{für }}i=k\0&{text{für }}ineq kend{cases}}}

impliziert definierten Größen ai,ui,e→i{displaystyle a_{i},u_{i},{vec {e}}_{i}}. Dabei haben nicht die dui{displaystyle mathrm {d} u_{i}}, sondern die Größen dli:=ai⋅dui{displaystyle mathrm {d} l_{i}:=a_{i}cdot mathrm {d} u_{i}} die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die ai{displaystyle a_{i}} nicht konstant sind, sondern von u1{displaystyle u_{1}}, u2{displaystyle u_{2}} und u3{displaystyle u_{3}} abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

Anwendung auf Vektorfelder |

In einem kartesischen Koordinatensystem mit x{displaystyle x}-, y{displaystyle y}- und z{displaystyle z}-Koordinaten und Basisvektoren e^x,y,z{displaystyle {hat {e}}_{x,y,z}} gilt:

Δv→=∂2∂x2v→+∂2∂y2v→+∂2∂z2v→=Δvxe^x+Δvye^y+Δvze^z{displaystyle Delta {vec {v}}={frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}{vec {v}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}{vec {v}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}{vec {v}}=Delta v_{x}{hat {e}}_{x}+Delta v_{y}{hat {e}}_{y}+Delta v_{z}{hat {e}}_{z}}

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)}

Δv→=(Δvρ−1ρ2vρ−2ρ2∂vφ∂φ)e^ρ+(Δvφ−1ρ2vφ+2ρ2∂vρ∂φ)e^φ+Δvze^z{displaystyle Delta {vec {v}}=left(Delta v_{rho }-{frac {1}{rho ^{2}}}v_{rho }-{frac {2}{rho ^{2}}}{frac {partial v_{varphi }}{partial varphi }}right){hat {e}}_{rho }+left(Delta v_{varphi }-{frac {1}{rho ^{2}}}v_{varphi }+{frac {2}{rho ^{2}}}{frac {partial v_{rho }}{partial varphi }}right){hat {e}}_{varphi }+Delta v_{z}{hat {e}}_{z}}

und in Kugelkoordinaten (r,φ,θ){displaystyle (r,varphi ,theta )}

Δv→=(Δvr−2r2vr−2r2sin⁡θ∂vφ∂φ−2r2∂vθ∂θ−2r2tan⁡θvθ)e^r+(Δvθ+2r2∂vr∂θ−2cos⁡θr2sin2⁡θ∂vφ∂φ−1r2sin2⁡θvθ)e^θ+(Δvφ+2r2sin⁡θ∂vr∂φ−1r2sin2⁡θvφ+2cos⁡θr2sin2⁡θ∂vθ∂φ)e^φ.{displaystyle {begin{aligned}Delta {vec {v}}=&left(Delta v_{r}-{frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{frac {2}{r^{2}sin theta }}{frac {partial v_{varphi }}{partial varphi }}-{frac {2}{r^{2}}}{frac {partial v_{theta }}{partial theta }}-{frac {2}{r^{2}tan theta }}v_{theta }right){hat {e}}_{r}\&+left(Delta v_{theta }+{frac {2}{r^{2}}}{frac {partial v_{r}}{partial theta }}-{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial v_{varphi }}{partial varphi }}-{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta }right){hat {e}}_{theta }\&+left(Delta v_{varphi }+{frac {2}{r^{2}sin theta }}{frac {partial v_{r}}{partial varphi }}-{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi }+{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial v_{theta }}{partial varphi }}right){hat {e}}_{varphi },.end{aligned}}}

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.^[2]

Beweis

In Zylinderkoordinaten (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)} werden e^ρ=(cos⁡φsin⁡φ0),e^φ=(−sin⁡φcos⁡φ0),e^z=(001){displaystyle {hat {e}}_{rho }={begin{pmatrix}cos varphi \sin varphi \0end{pmatrix}},quad {hat {e}}_{varphi }={begin{pmatrix}-sin varphi \cos varphi \0end{pmatrix}},quad {hat {e}}_{z}={begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}}} als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten: e→ρ,φ=e→φunde→φ,φ=−e→ρ{displaystyle {vec {e}}_{rho ,varphi }={vec {e}}_{varphi }quad {text{und}}quad {vec {e}}_{varphi ,varphi }=-{vec {e}}_{rho }} Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise e→ρ,φ:=∂∂φe→ρ.{displaystyle {vec {e}}_{rho ,varphi }:={frac {partial }{partial varphi }}{vec {e}}_{rho }.} Die Anwendung des Laplace-Operators Δ=∂2∂ρ2+1ρ∂∂ρ+1ρ2∂2∂φ2+∂2∂z2{displaystyle Delta ={frac {partial ^{2}}{partial rho ^{2}}}+{frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}} auf ein Vektorfeld ergibt: (∂2∂ρ2+1ρ∂∂ρ+1ρ2∂2∂φ2+∂2∂z2)(vρe^ρ+vφe^φ+vze^z)=∂2∂ρ2(vρe^ρ+vφe^φ+vze^z)+1ρ∂∂ρ(vρe^ρ+vφe^φ+vze^z)+1ρ2∂2∂φ2(vρe^ρ+vφe^φ+vze^z)+∂2∂z2(vρe^ρ+vφe^φ+vze^z)=vρ,ρρe^ρ+vφ,ρρe^φ+vz,ρρe^z+1ρ(vρ,ρe^ρ+vφ,ρe^φ+vz,ρe^z)+1ρ2∂∂φ(vρ,φe^ρ+vρe^φ+vφ,φe^φ−vφe^ρ+vz,φe^z)+vρ,zze^ρ+vφ,zze^φ+vz,zze^z=vρ,ρρe^ρ+vφ,ρρe^φ+vz,ρρe^z+1ρ(vρ,ρe^ρ+vφ,ρe^φ+vz,ρe^z)+1ρ2(vρ,φφe^ρ+2vρ,φe^φ−vρe^ρ+vφ,φφe^φ−2vφ,φe^ρ−vφe^φ+vz,φφe^z)+vρ,zze^ρ+vφ,zze^φ+vz,zze^z=+(Δvρ−1ρ2vρ−2ρ2vφ,φ)e^ρ+(Δvφ−1ρ2vφ+2ρ2vρ,φ)e^φ+Δvze^z,{displaystyle {begin{aligned}&left({frac {partial ^{2}}{partial rho ^{2}}}+{frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}right)(v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z}{hat {e}}_{z})\=&{frac {partial ^{2}}{partial rho ^{2}}}(v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z}{hat {e}}_{z})+{frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}(v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z}{hat {e}}_{z})\&+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}(v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z}{hat {e}}_{z})+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}(v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z}{hat {e}}_{z})\=&v_{rho ,rho rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,rho rho }{hat {e}}_{varphi }+v_{z,rho rho }{hat {e}}_{z}+{frac {1}{rho }}(v_{rho ,rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,rho }{hat {e}}_{varphi }+v_{z,rho }{hat {e}}_{z})\&+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial }{partial varphi }}(v_{rho ,varphi }{hat {e}}_{rho }+v_{rho }{hat {e}}_{varphi }+v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{varphi }-v_{varphi }{hat {e}}_{rho }+v_{z,varphi }{hat {e}}_{z})\&+v_{rho ,zz}{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,zz}{hat {e}}_{varphi }+v_{z,zz}{hat {e}}_{z}\=&v_{rho ,rho rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,rho rho }{hat {e}}_{varphi }+v_{z,rho rho }{hat {e}}_{z}+{frac {1}{rho }}(v_{rho ,rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,rho }{hat {e}}_{varphi }+v_{z,rho }{hat {e}}_{z})\&+{frac {1}{rho ^{2}}}(v_{rho ,varphi varphi }{hat {e}}_{rho }+2v_{rho ,varphi }{hat {e}}_{varphi }-v_{rho }{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,varphi varphi }{hat {e}}_{varphi }-2v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{rho }-v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }+v_{z,varphi varphi }{hat {e}}_{z})\&+v_{rho ,zz}{hat {e}}_{rho }+v_{varphi ,zz}{hat {e}}_{varphi }+v_{z,zz}{hat {e}}_{z}\=&+left(Delta v_{rho }-{frac {1}{rho ^{2}}}v_{rho }-{frac {2}{rho ^{2}}}v_{varphi ,varphi }right){hat {e}}_{rho }+left(Delta v_{varphi }-{frac {1}{rho ^{2}}}v_{varphi }+{frac {2}{rho ^{2}}}v_{rho ,varphi }right){hat {e}}_{varphi }+Delta v_{z}{hat {e}}_{z},end{aligned}}} also die im Text angegebene Formel.

In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren e^r=(sin⁡θcos⁡φsin⁡θsin⁡φcos⁡θ),e^θ=(cos⁡θcos⁡φcos⁡θsin⁡φ−sin⁡θ),e^φ=(−sin⁡φcos⁡φ0){displaystyle {hat {e}}_{r}={begin{pmatrix}sin theta cos varphi \sin theta sin varphi \cos theta end{pmatrix}},qquad {hat {e}}_{theta }={begin{pmatrix}cos theta cos varphi \cos theta sin varphi \-sin theta end{pmatrix}},qquad {hat {e}}_{varphi }={begin{pmatrix}-sin varphi \cos varphi \0end{pmatrix}}} verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen e^r,θ=(cos⁡θcos⁡φcos⁡θsin⁡φ−sin⁡θ)=e^θ,e^r,φ=(−sin⁡θsin⁡φsin⁡θcos⁡φ0)=sin⁡θe^φe^θ,θ=(−sin⁡θcos⁡φ−sin⁡θsin⁡φ−cos⁡θ)=−e^r,e^θ,φ=(−cos⁡θsin⁡φcos⁡θcos⁡φ0)=cos⁡θe^φe^φ,φ=(−cos⁡φ−sin⁡φ0)=e^z×e^φ=−sin⁡θe^r−cos⁡θe^θ{displaystyle {begin{aligned}{hat {e}}_{r,theta }=&{begin{pmatrix}cos theta cos varphi \cos theta sin varphi \-sin theta end{pmatrix}}={hat {e}}_{theta },,quad {hat {e}}_{r,varphi }={begin{pmatrix}-sin theta sin varphi \sin theta cos varphi \0end{pmatrix}}=sin theta {hat {e}}_{varphi }\{hat {e}}_{theta ,theta }=&{begin{pmatrix}-sin theta cos varphi \-sin theta sin varphi \-cos theta end{pmatrix}}=-{hat {e}}_{r},,quad {hat {e}}_{theta ,varphi }={begin{pmatrix}-cos theta sin varphi \cos theta cos varphi \0end{pmatrix}}=cos theta {hat {e}}_{varphi }\{hat {e}}_{varphi ,varphi }=&{begin{pmatrix}-cos varphi \-sin varphi \0end{pmatrix}}={hat {e}}_{z}times {hat {e}}_{varphi }=-sin theta {hat {e}}_{r}-cos theta {hat {e}}_{theta }end{aligned}}} Anwendung des Laplace-Operators Δ=∂2∂r2+2r∂∂r+1r2∂2∂θ2+1r2tan⁡θ∂∂θ+1r2sin2⁡θ∂2∂φ2{displaystyle Delta ={frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}}+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}+{frac {1}{r^{2}tan theta }}{frac {partial }{partial theta }}+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}} auf ein Vektorfeld ergibt: (∂2∂r2+2r∂∂r+1r2∂2∂θ2+1r2tan⁡θ∂∂θ+1r2sin2⁡θ∂2∂φ2)⋅(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)=∂2∂r2(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)+2r∂∂r(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)+1r2∂2∂θ2(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)+1r2tan⁡θ∂∂θ(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)+1r2sin2⁡θ∂2∂φ2(vre^r+vθe^θ+vφe^φ)=vr,rre^r+vθ,rre^θ+vφ,rre^φ+2rvr,re^r+2rvθ,re^θ+2rvφ,re^φ+1r2∂∂θ(vr,θe^r+vre^θ+vθ,θe^θ−vθe^r+vφ,θe^φ)+1r2tan⁡θ(vr,θe^r+vre^θ+vθ,θe^θ−vθe^r+vφ,θe^φ)+1r2sin2⁡θ∂∂φ(vr,φe^r+sin⁡θvre^φ+vθ,φe^θ+cos⁡θvθe^φ+vφ,φe^φ−sin⁡θvφe^r−cos⁡θvφe^θ)=vr,rre^r+vθ,rre^θ+vφ,rre^φ+2rvr,re^r+2rvθ,re^θ+2rvφ,re^φ+1r2(vr,θθe^r+vr,θe^θ+vr,θe^θ−vre^r+vθ,θθe^θ−vθ,θe^r−vθ,θe^r−vθe^θ+vφ,θθe^φ)+1r2tan⁡θ(vr,θe^r+vre^θ+vθ,θe^θ−vθe^r+vφ,θe^φ)+1r2sin2⁡θ(vr,φφe^r+sin⁡θvr,φe^φ+sin⁡θvr,φe^φ−sin2⁡θvre^r−sin⁡θcos⁡θvre^θ+vθ,φφe^θ+cos⁡θvθ,φe^φ+cos⁡θvθ,φe^φ−sin⁡θcos⁡θvθe^r−cos2⁡θvθe^θ+vφ,φφe^φ−sin⁡θvφ,φe^r−cos⁡θvφ,φe^θ−sin⁡θvφ,φe^r−sin2⁡θvφe^φ−cos⁡θvφ,φe^θ−cos2⁡θvφe^φ)=(vr,rr+2rvr,r+1r2vr,θθ+1r2tan⁡θvr,θ+1r2sin2⁡θvr,φφ−1r2vr−1r2vθ,θ−1r2vθ,θ−1r2tan⁡θvθ−1r2vr−cos⁡θr2sin⁡θvθ−1r2sin⁡θvφ,φ−1r2sin⁡θvφ,φ)e^r+(vθ,rr+2rvθ,r+1r2vθ,θθ+1r2tan⁡θvθ,θ+1r2sin2⁡θvθ,φφ+2r2vr,θ−1r2vθ+1r2tan⁡θvr−cos⁡θr2sin⁡θvr−cos2⁡θr2sin2⁡θvθ−2cos⁡θr2sin2⁡θvφ,φ)e^θ+(vφ,rr+2rvφ,r+1r2vφ,θθ+1r2tan⁡θvφ,θ+1r2sin2⁡θvφ,φφ+2r2sin⁡θvr,φ+2cos⁡θr2sin2⁡θvθ,φ−sin2⁡θ+cos2⁡θr2sin2⁡θvφ)e^φ=(Δvr−2r2vr−2r2vθ,θ−2r2tan⁡θvθ−2r2sin⁡θvφ,φ)e^r+(Δvθ+2r2vr,θ−1r2sin2⁡θvθ−2cos⁡θr2sin2⁡θvφ,φ)e^θ+(Δvφ+2cos⁡θr2sin2⁡θvθ,φ−1r2sin2⁡θvφ+2r2sin⁡θvr,φ)e^φ,{displaystyle {begin{aligned}&left({frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}}+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}+{frac {1}{r^{2}tan theta }}{frac {partial }{partial theta }}+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}right)cdot (v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })\=&{frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}(v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}}(v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}(v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })\&+{frac {1}{r^{2}tan theta }}{frac {partial }{partial theta }}(v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}(v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })\=&v_{r,rr}{hat {e}}_{r}+v_{theta ,rr}{hat {e}}_{theta }+v_{varphi ,rr}{hat {e}}_{varphi }+{frac {2}{r}}v_{r,r}{hat {e}}_{r}+{frac {2}{r}}v_{theta ,r}{hat {e}}_{theta }+{frac {2}{r}}v_{varphi ,r}{hat {e}}_{varphi }\&+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial theta }}(v_{r,theta }{hat {e}}_{r}+v_{r}{hat {e}}_{theta }+v_{theta ,theta }{hat {e}}_{theta }-v_{theta }{hat {e}}_{r}+v_{varphi ,theta }{hat {e}}_{varphi })\&+{frac {1}{r^{2}tan theta }}(v_{r,theta }{hat {e}}_{r}+v_{r}{hat {e}}_{theta }+v_{theta ,theta }{hat {e}}_{theta }-v_{theta }{hat {e}}_{r}+v_{varphi ,theta }{hat {e}}_{varphi })\&+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial }{partial varphi }}(v_{r,varphi }{hat {e}}_{r}+sin theta v_{r}{hat {e}}_{varphi }+v_{theta ,varphi }{hat {e}}_{theta }+cos theta v_{theta }{hat {e}}_{varphi }+v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{varphi }-sin theta v_{varphi }{hat {e}}_{r}-cos theta v_{varphi }{hat {e}}_{theta })\=&v_{r,rr}{hat {e}}_{r}+v_{theta ,rr}{hat {e}}_{theta }+v_{varphi ,rr}{hat {e}}_{varphi }+{frac {2}{r}}v_{r,r}{hat {e}}_{r}+{frac {2}{r}}v_{theta ,r}{hat {e}}_{theta }+{frac {2}{r}}v_{varphi ,r}{hat {e}}_{varphi }\&+{frac {1}{r^{2}}}(v_{r,theta theta }{hat {e}}_{r}+v_{r,theta }{hat {e}}_{theta }+v_{r,theta }{hat {e}}_{theta }-v_{r}{hat {e}}_{r}+v_{theta ,theta theta }{hat {e}}_{theta }-v_{theta ,theta }{hat {e}}_{r}-v_{theta ,theta }{hat {e}}_{r}-v_{theta }{hat {e}}_{theta }+v_{varphi ,theta theta }{hat {e}}_{varphi })\&+{frac {1}{r^{2}tan theta }}(v_{r,theta }{hat {e}}_{r}+v_{r}{hat {e}}_{theta }+v_{theta ,theta }{hat {e}}_{theta }-v_{theta }{hat {e}}_{r}+v_{varphi ,theta }{hat {e}}_{varphi })\&+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}(v_{r,varphi varphi }{hat {e}}_{r}+sin theta v_{r,varphi }{hat {e}}_{varphi }+sin theta v_{r,varphi }{hat {e}}_{varphi }-sin ^{2}theta v_{r}{hat {e}}_{r}-sin theta cos theta v_{r}{hat {e}}_{theta }\&+v_{theta ,varphi varphi }{hat {e}}_{theta }+cos theta v_{theta ,varphi }{hat {e}}_{varphi }+cos theta v_{theta ,varphi }{hat {e}}_{varphi }-sin theta cos theta v_{theta }{hat {e}}_{r}-cos ^{2}theta v_{theta }{hat {e}}_{theta }\&+v_{varphi ,varphi varphi }{hat {e}}_{varphi }-sin theta v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{r}-cos theta v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{theta }-sin theta v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{r}-sin ^{2}theta v_{varphi }{hat {e}}_{varphi }\&-cos theta v_{varphi ,varphi }{hat {e}}_{theta }-cos ^{2}theta v_{varphi }{hat {e}}_{varphi })\=&{Bigl (}v_{r,rr}+{frac {2}{r}}v_{r,r}+{frac {1}{r^{2}}}v_{r,theta theta }+{frac {1}{r^{2}tan theta }}v_{r,theta }+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{r,varphi varphi }\&qquad -{frac {1}{r^{2}}}v_{r}-{frac {1}{r^{2}}}v_{theta ,theta }-{frac {1}{r^{2}}}v_{theta ,theta }-{frac {1}{r^{2}tan theta }}v_{theta }-{frac {1}{r^{2}}}v_{r}-{frac {cos theta }{r^{2}sin theta }}v_{theta }-{frac {1}{r^{2}sin theta }}v_{varphi ,varphi }-{frac {1}{r^{2}sin theta }}v_{varphi ,varphi }{Bigr )}{hat {e}}_{r}\&+{Bigl (}v_{theta ,rr}+{frac {2}{r}}v_{theta ,r}+{frac {1}{r^{2}}}v_{theta ,theta theta }+{frac {1}{r^{2}tan theta }}v_{theta ,theta }+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta ,varphi varphi }\&qquad +{frac {2}{r^{2}}}v_{r,theta }-{frac {1}{r^{2}}}v_{theta }+{frac {1}{r^{2}tan theta }}v_{r}-{frac {cos theta }{r^{2}sin theta }}v_{r}-{frac {cos ^{2}theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta }-{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi ,varphi }{Bigr )}{hat {e}}_{theta }\&+{Bigl (}v_{varphi ,rr}+{frac {2}{r}}v_{varphi ,r}+{frac {1}{r^{2}}}v_{varphi ,theta theta }+{frac {1}{r^{2}tan theta }}v_{varphi ,theta }+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi ,varphi varphi }\&qquad +{frac {2}{r^{2}sin theta }}v_{r,varphi }+{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta ,varphi }-{frac {sin ^{2}theta +cos ^{2}theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi }{Bigr )}{hat {e}}_{varphi }\=&left(Delta v_{r}-{frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{frac {2}{r^{2}}}v_{theta ,theta }-{frac {2}{r^{2}tan theta }}v_{theta }-{frac {2}{r^{2}sin theta }}v_{varphi ,varphi }right){hat {e}}_{r}\&+left(Delta v_{theta }+{frac {2}{r^{2}}}v_{r,theta }-{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta }-{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi ,varphi }right){hat {e}}_{theta }\&+left(Delta v_{varphi }+{frac {2cos theta }{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{theta ,varphi }-{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}v_{varphi }+{frac {2}{r^{2}sin theta }}v_{r,varphi }right){hat {e}}_{varphi }end{aligned}},} also dasselbe Ergebnis wie im Text angegeben.

Eigenschaften |

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind f{displaystyle f} und g{displaystyle g} zweimal differenzierbare Funktionen und a{displaystyle a} und b{displaystyle b} Konstanten, so gilt

Δ(a⋅f+b⋅g)=a⋅(Δf)+b⋅(Δg).{displaystyle Delta (acdot f+bcdot g)=acdot (Delta f)+bcdot (Delta g).}

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet

Δ(fg)=fΔg+2⟨∇f,∇g⟩+gΔf,{displaystyle Delta (fg)=fDelta g+2langle nabla f,nabla grangle +gDelta f,}

wobei f,g:U→R{displaystyle f,gcolon Uto mathbb {R} } zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit U⊂Rn{displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} sind und ⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle } das euklidische Standardskalarprodukt ist.^[3]

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist f{displaystyle f} eine zweimal differenzierbare Funktion und R{displaystyle R} eine Drehung, so gilt

(Δf)∘R=Δ(f∘R),{displaystyle left(Delta fright)circ R=Delta left(fcirc Rright),}

wobei „∘{displaystyle circ }“ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist −‖ξ‖2{displaystyle -|xi |^{2}}. Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

−Δ:S(Rn)→L2(Rn){displaystyle -Delta colon {mathcal {S}}(mathbb {R} ^{n})rightarrow L^{2}(mathbb {R} ^{n})}

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

−Δ:H2(Rn)→L2(Rn){displaystyle -Delta colon H^{2}(mathbb {R} ^{n})rightarrow L^{2}(mathbb {R} ^{n})}

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum H2(Rn)⊂L2(Rn){displaystyle H^{2}(mathbb {R} ^{n})subset L^{2}(mathbb {R} ^{n})}.^[4] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

σ(−Δ)⊂R0+{displaystyle sigma (-Delta )subset mathbb {R} _{0}^{+}}

Die Eigenwertgleichung

−Δf=λf{displaystyle -Delta f=lambda f}

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist Ω⊂Rn{displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}} ein beschränktes Gebiet und H02(Ω){displaystyle H_{0}^{2}(Omega )} der Sobolev-Raum mit den Randwerten f=0{displaystyle f=0} in ∂Ω{displaystyle partial Omega }, dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators −Δ:H02(Ω)→L2(Ω){displaystyle -Delta colon H_{0}^{2}(Omega )rightarrow L^{2}(Omega )} ein vollständiges Orthonormalsystem von L2(Ω){displaystyle L^{2}(Omega )} und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in ∞{displaystyle infty } einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.^[5]

Anschaulich gibt Δf(p){displaystyle Delta f(p)} für eine Funktion f{displaystyle f} an einem Punkt p{displaystyle p} an, wie sich der Mittelwert von f{displaystyle f} über konzentrische Kugelschalen um p{displaystyle p} mit wachsendem Kugelradius gegenüber f(p){displaystyle f(p)} verändert.

Poisson- und Laplace-Gleichung |

Definition |

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung

Δφ=0{displaystyle Delta varphi =0}

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

Δφ=f{displaystyle Delta varphi =f}

heißt Poisson-Gleichung.

Fundamentallösung |

Die Fundamentallösung G(x→,x→′){displaystyle G({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })} des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

ΔG(x→,x→′)=δ(x→−x→′){displaystyle Delta ,G({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })=delta ({vec {x}}-{vec {x}}^{,prime })}

mit der Delta-Distribution δ{displaystyle delta } auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

G(x→,x→′)=−14π‖x→−x→′‖+F(x→,x→′){displaystyle G({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })=-{frac {1}{4pi |{vec {x}}-{vec {x}}^{,prime }|}}+F({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })} mit ΔF(x→,x→′)=0{displaystyle Delta ,F({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })=0}

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

G(x→,x→′)=ln⁡(‖x→−x→′‖)2π+F(x→,x→′){displaystyle G({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })={frac {ln(|{vec {x}}-{vec {x}}^{,prime }|)}{2pi }}+F({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })} mit ΔF(x→,x→′)=0{displaystyle Delta ,F({vec {x}},{vec {x}}^{,prime })=0}

Verallgemeinerungen |

D’Alembert-Operator |

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d’Alembert-Operator:

◻=1c2∂2∂t2−Δ{displaystyle square ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-Delta }

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators Δ{displaystyle Delta } auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator |

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung |

In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter: D→x2=[1−21]{displaystyle {vec {D}}_{x}^{2}={begin{bmatrix}1&-2&1end{bmatrix}}}

2D-Filter: Dxy2=[0101−41010]{displaystyle mathbf {D} _{xy}^{2}={begin{bmatrix}0&1&0\1&-4&1\0&1&0end{bmatrix}}}

Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigt:

2D-Filter: Dxy2=[1111−81111]{displaystyle mathbf {D} _{xy}^{2}={begin{bmatrix}1&1&1\1&-8&1\1&1&1end{bmatrix}}}

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.

Siehe auch |

• Biharmonische Gleichung

Anwendungen

• Potentialströmung


• Airysche Spannungsfunktion


• Navier-Cauchy-Gleichungen

Literatur |

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.


• 
  Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, Vieweg Studium, 1984, ISBN 3-528-27252-X.

Weblinks |

• 
  Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. Auf: matheplanet.com.
  

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch).
   


2. 
   ↑ M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 378. 
   


3. 
   ↑ Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.
   


4. 
   ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.
   


5. 
   ↑ Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.