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Verdeutlichung des Hall-Effekts:
In Zeichnung A nimmt die Hall-Sonde an der Oberseite eine negative Ladung an (symbolisiert durch die blaue Farbe) und eine positive Ladung an der Unterseite (rote Farbe). In den Zeichnungen B und C ist das elektrische bzw. das magnetische Feld umgekehrt, so dass die Ladungspolarisation vertauscht ist. In der Zeichnung D sind beide Felder umgekehrt, so dass sich wieder die gleiche Polarisation wie in Zeichnung A einstellt. Legende:
  1  Elektronen
  2  Hallelement oder Hallsonde
  3  Magnete
  4  Magnetfeld
  5  Stromquelle

Der Hall-Effekt [.mw-parser-output .IPA a{text-decoration:none}'hɔːl-], benannt nach Edwin Hall, beschreibt das Auftreten einer elektrischen Spannung in einem stromdurchflossenen Leiter, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Die Spannung fällt dabei senkrecht sowohl zur Stromfluss- als auch zur Magnetfeldrichtung am Leiter ab und wird Hall-Spannung UH{displaystyle U_{mathrm {H} }} genannt.

Die Größe der Spannung kann mit Hilfe der weiter unten hergeleiteten Gleichung

UH=AHIBd{displaystyle U_{mathrm {H} }=A_{mathrm {H} },{frac {IB}{d}}}

aus Stromstärke I{displaystyle I}, magnetischer Flussdichte B{displaystyle B}, Dicke der Probe d{displaystyle d} (parallel zu B{displaystyle B}) und einer Materialkonstanten – der sogenannten Hall-Konstanten (auch: Hall-Koeffizient) AH{displaystyle A_{mathrm {H} }} – berechnet werden.

Erklärung |

Halleffekt und Stromlinien am dünnen Leiter

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Animation des physikalischen Prinzips, stark vereinfacht

Der Hall-Effekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem Magnetfeld befindet, wobei sich ein elektrisches Feld aufbaut, das zur Stromrichtung und zum Magnetfeld senkrecht steht und das die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft kompensiert.

Durch Anlegen einer Spannung an die Probe fließt ein Strom. Die Ladungsträger sind im Allgemeinen Elektronen, es kann aber auch Löcherleitung in entsprechend dotierten Halbleitern vorherrschen. Die Elektronen bewegen sich entgegen der technischen Stromrichtung mit einer mittleren Geschwindigkeit v{displaystyle v} (Driftgeschwindigkeit) durch den Leiter. Wegen der durch das Magnetfeld verursachten Lorentz-Kraft wird das Elektron senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung abgelenkt. Hierdurch kommt es auf der entsprechenden Seite des Leiters zu einem Elektronenüberschuss (blau hervorgehoben), während es auf der gegenüberliegenden Seite im selben Maße zu einem Elektronenmangel kommt (rot hervorgehoben). Man hat es also mit einer Ladungstrennung zu tun, vergleichbar mit der eines Kondensators. Die sich nun gegenüberstehenden negativen und positiven Ladungsüberschüsse verursachen ein elektrisches Feld, das eine Kraft auf die Elektronen ausübt, die der Lorentz-Kraft entgegengerichtet ist. Die Verstärkung der Ladungstrennung kommt zum Stillstand, wenn sich beide Kräfte gerade kompensieren. Wie beim Kondensator kann eine Spannung abgegriffen werden, die hier als Hall-Spannung bezeichnet wird. Die Hall-Spannung folgt Strom- und Magnetfeldänderungen in der Regel unmittelbar. Sie steigt mit dem Magnetfeld linear an und ist antiproportional zur (vorzeichenbehafteten) Ladungsträgerdichte^[1] , da eine geringere Anzahl von Ladungsträgern nur bei höherer Geschwindigkeit der Einzelladungen zu einer unveränderten Stromstärke führen kann. Auf die schnelleren Ladungsträger wirkt eine höhere Lorentz-Kraft, wodurch die Hall-Spannung größer wird. Da die Ladungsträgerdichte in Halbleitern bedeutend kleiner ist als in Metallen, werden vorwiegend Halbleiter als Hall-Sonden benutzt.

Die Hallspannung ist insbesondere unabhängig vom spezifischen Widerstand der Probe.
Der Hall-Effekt wird sowohl zum Messen von Magnetfeldern (mit Hall-Sonde) als auch zur Bestimmung der Ladungsträgerart (Elektronen oder Löcher) und deren Dichte eingesetzt.

Die spezifischen Eigenschaften des Leitungsvorganges werden durch die Hall-Konstante AH{displaystyle A_{mathrm {H} }} wiedergegeben.

Geschichte |

Edwin Hall beschrieb den später nach ihm benannten Effekt 1879^[2] im Rahmen seiner Promotionsarbeit. Nach eigener Aussage^[3] wurde er durch eine Aussage von James Clerk Maxwell dazu motiviert, diesen Effekt zu suchen, denn diese Aussage Maxwells erschien ihm unnatürlich:

Vor Hall hatten schon eine Reihe anderer Physiker einen solchen Effekt gesucht (etwa Feilitzsch, Mach, Wiedemann und sein Doktorvater Rowland), aber erst er erreichte eine ausreichende Messempfindlichkeit. Seine Doktorarbeit enthielt Messungen des Hall-Effekts in Gold. Zu späteren Messungen bemerkte Kelvin:

Herleitung |

Verwendete Größen
B→{displaystyle {vec {B}}}	Magnetische Flussdichte
E→{displaystyle {vec {E}}}	Elektrische Feldstärke
F→{displaystyle {vec {F}}}	Kraft auf die Ladungsträger
UH{displaystyle U_{mathrm {H} }}	Hall-Spannung
I{displaystyle I}	Elektrische Stromstärke
j→{displaystyle {vec {j}}}	Elektrische Stromdichte
v→{displaystyle {vec {v}}}	Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
b{displaystyle b}	Breite des Leiters
d{displaystyle d}	Dicke des Leiters
n{displaystyle n}	Ladungsträgerdichte
q{displaystyle q}	Ladung eines Ladungsträgers
AH{displaystyle A_{mathrm {H} }}	Hall-Konstante

Zum Verständnis dieses Abschnitts sind Grundkenntnisse in der Vektorrechnung und Elektrodynamik hilfreich.

An dieser Stelle soll eine kurze Herleitung der Formel für die Hallspannung skizziert werden. Die Gültigkeit der Herleitung beschränkt sich dabei auf elektrische Leiter mit nur einer Sorte von Ladungsträgern, wie bei Metallen (Elektronen) oder stark dotierten Halbleitern (stark überwiegend entweder Löcher oder Elektronen).

Bewegte Ladungsträger in einem magnetischen Feld erfahren die Lorentzkraft:

F→=q(v→×B→){displaystyle {vec {F}}=q,({vec {v}}times {vec {B}})}

Beim Hall-Effekt baut sich ein kompensierendes elektrisches Feld auf, das die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes neutralisiert. Für die resultierende Kraft auf die Ladungsträger muss folglich gelten:

q(E→+v→×B→)=0{displaystyle q,({vec {E}}+{vec {v}}times {vec {B}})=0}

Der Einfachheit halber wird das Koordinatensystem so gelegt, dass sich die Ladungsträger in x{displaystyle x}-Richtung bewegen und das Magnetfeld in z{displaystyle z}-Richtung wirkt. Es ist also v→=(vx,0,0){displaystyle {vec {v}}=(v_{x},0,0)} und B→=(0,0,Bz){displaystyle {vec {B}}=(0,0,B_{z})}. Damit wird die y-Komponente der obigen Gleichung nach Division durch q{displaystyle q} zu:

Ey−vxBz=0{displaystyle left.E_{y}-v_{x}B_{z}=0right.,}

Die Stromdichte j→{displaystyle {vec {j}}} im Leiter lässt sich allgemein durch j→=nqv→{displaystyle {vec {j}}=nq{vec {v}}} ausdrücken. Löst man diese Beziehung nach vx{displaystyle v_{x}} auf und setzt sie in obige Gleichung, so erhält man

Ey=1nqjxBz=AHjxBz{displaystyle E_{y}={frac {1}{nq}},j_{x}B_{z}=A_{mathrm {H} },j_{x}B_{z}}

Über diese Beziehung wird die Hall-Konstante AH{displaystyle A_{mathrm {H} }} definiert, welche die Stärke des Hall-Effektes charakterisiert.

Um die Gleichung etwas handlicher zu machen, kann man den Leiter, in dem ja eine Ladungstrennung stattgefunden hat, als Plattenkondensator auffassen.^[4] Für diesen gilt die Beziehung

Ey=UHb{displaystyle E_{y}={frac {U_{mathrm {H} }}{b}}}.

Außerdem kann die Stromdichte jx{displaystyle j_{x}} im vorliegenden Fall durch jx=I/bd{displaystyle j_{x}=I/bd} ausgedrückt werden. Setzt man diese beiden Schreibweisen ein, so erhält man für die Hallspannung UH{displaystyle U_{mathrm {H} }} einen nur noch von einfach messbaren Größen abhängenden Ausdruck:

UH=AHIBzd{displaystyle U_{mathrm {H} }=A_{mathrm {H} },{frac {IB_{z}}{d}}}.

Diese Gleichung ist auch für Leiter mit verschiedenen Sorten von Ladungsträgern korrekt, jedoch lässt sich dann die Hall-Konstante nicht mehr durch AH=1/nq{displaystyle A_{mathrm {H} }=1/nq} berechnen. Aus der Gleichung lässt sich der sogenannte Hall-Widerstand angeben:

R(B)=AHBzd{displaystyle R(B)=A_{mathrm {H} },{frac {B_{z}}{d}}}

Der Hall-Widerstand charakterisiert ein Hallelement, hat jedoch nichts mit dem gemessenen elektrischen Widerstand an einem Hallelement zu tun.
Er gibt das Verhältnis Hallspannung zu Strom eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an:

R(B)=UHI{displaystyle R(B)={frac {U_{text{H}}}{I}}}

Anwendung |

Germanium-Hall-Effekt-Wafer

In der Elektronik wird der Hall-Effekt in sogenannten Hallsonden zur Messung der magnetischen Flussdichte benutzt. Fließt ein Strom durch den Leiter, so kann durch das Messen der erzeugten Hall-Spannung nach obiger Formel B{displaystyle B} berechnet werden. Materialien mit großer Hall-Konstante zeichnen sich dabei mit einer hohen Empfindlichkeit aus. Aus diesem Grund werden meist Halbleitermaterialien verwendet. Die Massenfertigung zum breiten Einsatz in der Industrie wurde erst durch die Integration von Hall-Platten in CMOS-Technologie möglich. Erst damit können Temperaturabhängigkeiten und andere Effekte kompensiert und die Hallspannung entsprechend ausgewertet und digital aufbereitet werden. Heute gibt es immer komplexere Hall-Sensoren auf CMOS-Basis in Anwendungen zur Winkel-, Positions-, Geschwindigkeits- und Strommessung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Bestimmung von Ladungsträgerdichten durch Messen der Hall-Konstanten. Durch eine zusätzliche Messung der elektrischen Leitfähigkeit (oder des spezifischen Widerstands) ist es zudem möglich, die Beweglichkeit der Ladungsträger im Material zu ermitteln. Eine komfortable Methode zur Bestimmung des spezifischen Widerstandes und der Hallkonstanten an dünnen Schichten ist die Van-der-Pauw-Messmethode.

Ein elektronischer Kompass kann mit Hallsonden gebaut werden.

Praktische Anwendungen finden sich auch in der Raumfahrt, bei Hall-Ionentriebwerken.^[5][6]

Quanten-Hall-Effekt |

Schon um 1930 hatte Landau den Gedanken, dass bei sehr tiefen Temperaturen, starken Magnetfeldern und zweidimensionalen Leitern Quanteneffekte auftreten sollten.^[7] Der Quanten-Hall-Effekt bewirkt, dass in zweidimensionalen Systemen bei sehr starken Magnetfeldern B{displaystyle B} und tiefen Temperaturen (wenige Kelvin) die Hall-Spannung UH{displaystyle U_{mathrm {H} }} geteilt durch den Strom I{displaystyle I} nicht beliebig variieren kann, wenn die Magnetfeldstärke variiert wird, sondern dass das Verhältnis in Stufen variiert. UH/I{displaystyle U_{mathrm {H} }/I} ist z. B. an Grenz- oder Oberflächen unter den angegebenen Bedingungen immer ein ganzzahliger Bruchteil der Von-Klitzing-Konstanten

RK=he2≡25812,807Ω{displaystyle R_{mathrm {K} }={frac {h}{e^{2}}}equiv 25812{,}807,mathrm {Omega } }^[8]

(in der Einheit Ohm=Volt/Ampere; h{displaystyle h} ist die plancksche Konstante, e{displaystyle e} die Elementarladung). Die angegebenen Stufenwerte für das Verhältnis UH/I{displaystyle U_{H}/I} sind also: RK{displaystyle R_{mathrm {K} }}, RK/2{displaystyle R_{mathrm {K} }/2}, RK/3{displaystyle R_{mathrm {K} }/3} und so weiter. Die Genauigkeit, mit der diese Plateaus reproduziert werden können, ist so gut, dass RK{displaystyle R_{mathrm {K} }} durch internationale Verträge als Standard für den elektrischen Widerstand festgelegt worden ist. Der Quanten-Hall-Effekt ist weitgehend verstanden. Klaus von Klitzing bekam für diese Entdeckung 1985 den Nobelpreis.

Spin-Hall-Effekt |

Wenn sich Elektronen durch einen Festkörper bewegen, werden sie durch quantenmechanische Effekte seitlich abgelenkt – je nach Ausrichtung des Spins (Eigendrehimpuls des Elektrons) nach rechts oder links. Es entsteht ein „Spin-Strom“ in transversaler Richtung. Im Gegensatz zum gewöhnlichen Hall-Effekt ist für diesen so genannte „Spin-Hall-Effekt“ kein externes magnetisches Feld erforderlich, der Effekt entsteht durch extrinsische (z. B. durch Störstellen) oder durch intrinsische Mechanismen (z. B. durch die Spin-Bahn-Kopplung).

Planarer Hall-Effekt |

Der sogenannte planare Hall-Effekt ist ein magnetoresistiver Effekt in ferromagnetischen Materialien, der trotz des Namens nichts mit dem gewöhnlichen Hall-Effekt zu tun hat. Der Hauptunterschied zum gewöhnlichen Hall-Effekt – und zugleich Grund für die Namensgebung – ist, dass in diesem Fall das Magnetfeld nicht senkrecht zur Probe, sondern in der Probe (also „planar“) verläuft, aber „quer“ zum longitudinalen Strom, wobei ebenfalls extrinsische und intrinsische Effekte unterschieden werden. Insofern ist der Spin-Hall-Effekt eher analog zum planaren Hall-Effekt als zum gewöhnlichen Hall-Effekt.

Siehe auch |

• Hall-Winkel

Literatur |

• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, 5. Auflage 1980.


• P. Grosse: Freie Elektronen in Festkörpern. Springer 1979.


• C. M. Hurd: The Hall Effect in metals and alloys. Plenum 1972.


• E. H. Putley: The Hall Effect and related phenomena. Butterworth, London 1960.


• 
  Edwin H. Hall: On Supraconductivity and the Hall Effect. PNAS 1933


• 
  On a New Action of the Magnet on Electric Currents. (Memento vom 26. März 2003 im Internet Archive) In: American Journal of Mathematics. Band 2, 1879, S. 287–292; Faksimile von Halls grundlegender Veröffentlichung.

Weblinks |

• 
  The Hall Effect. National Institute of Standards and Technology
  

Einzelnachweise und Anmerkungen |

1. 
   ↑ Die Ladungsträgerdichte ist hier natürlich eine Volumendichte, Gesamtladung / {Länge mal Breite mal Höhe} der Probe (die „Höhe“ wird im Artikel auch als „Dicke“ bezeichnet und d genannt). Im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt, wo es nur um den Hall-Effekt an (zweidimensionalen!) sog. Hall-Streifen geht, ist die Ladungsträgerdichte dagegen eine Flächendichte, weil der Quotient … / ( … Höhe) fehlt; während gleichzeitig d durch 1 ersetzt wird (man könnte auch sagen: „Volumendichte mal d = Flächendichte“).
   


2. 
   ↑ E. Hall: On a New Action of a Magnet on Electric Currents. In: American Journal of Mathematics. Bd. 2, 1879, S. 287–292 (Originalarbeit, Abstract).
   


3. 
   ↑ Percy Williams Bridgman: Biographical Memoir of Edwin Herbert Hall 1855-1938. National Academy of Sciences, abgerufen am 14. Februar 2016 (PDF; 1,4 MB, englisch). 
   


4. 
   ↑ Setzt man voraus, dass sich alle Ladungsträger gleich schnell bewegen und das Magnetfeld homogen ist, dann wird auf jeden Ladungsträger die gleiche Lorentzkraft ausgeübt. Im Gleichgewichtsfall ist dann die elektrische Kraft auf jeden Ladungsträger gleich groß wie die Lorentzkraft, sonst wäre es ja noch kein Gleichgewicht. Also sind die elektrischen Kräfte ja überall im Leiter gleich groß. Ein solches elektrisches Feld heißt homogen, dafür gilt die Formel, die auch für den Plattenkondensator gilt und mit diesem verbunden wird.
   


5. 
   ↑ Martin Tajmar: Advanced space propulsion systems. Springer, Wien 2003, ISBN 3-211-83862-7, S. 75 ff.
   


6. 
   ↑ Das Hall-Triebwerk. Physikalisches Institut der JLU Gießen; abgerufen 12. März 2010
   


7. 
   ↑ Károly Simonyi: Kulturgeschichte der Physik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X. , S. 479
   


8. 
   ↑ Mit den angegebenen Ziffernfolge ist die Konstante RK{displaystyle R_{mathrm {K} }} seit 2010 festgelegt.